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시어핀스키 삼각형이란?
시어핀스키 삼각형(Sierpiński triangle)은 폴란드의 수학자 바츨라프 시어핀스키(Wacław Sierpiński)가 1915년에 정의한 프랙털(Fractal) 구조 중 하나입니다. 이 삼각형은 자기 유사성을 가진 도형으로, 어떤 배율로 확대하더라도 원래 도형과 동일한 패턴을 보입니다. 시어핀스키 삼각형은 매우 흥미로운 수학적 성질을 가지고 있으며, 기하학적, 컴퓨터 과학적 연구에서도 자주 등장하는 개념입니다.
시어핀스키 삼각형 만드는 방법
시어핀스키 삼각형은 다음과 같은 절차를 통해 만들어집니다:
- 정삼각형을 그립니다: 기본적으로 큰 정삼각형이 필요합니다.
- 내부 삼각형 제거: 이 정삼각형의 중간 점을 연결하여 그 안에 작은 정삼각형을 그린 후, 그 삼각형을 제거합니다.
- 반복: 남아 있는 세 개의 작은 정삼각형에 대해 같은 작업을 반복합니다. 각 단계에서 중앙의 삼각형을 제거하는 과정을 무한히 반복하면 시어핀스키 삼각형이 만들어집니다.
시어핀스키 삼각형의 특성
- 프랙탈 구조: 시어핀스키 삼각형은 작은 부분이 전체 구조와 동일한 모양을 띠는 자기 유사성을 가집니다.
- 차원: 이 삼각형은 2차원 평면에 그려지지만, 그 안의 빈 공간 때문에 실제로는 1.585차원의 프랙털 차원을 가집니다. 이는 일반적인 2차원 도형과 차이가 있습니다.
- 빈 공간: 반복적으로 중앙 삼각형을 제거하면서 무한히 많은 빈 공간이 생기기 때문에, 시어핀스키 삼각형의 면적은 점점 0에 가까워집니다.
※시어핀스키 삼각형을 만드는 순서
1. 정삼각형 하나에서 시작한다.
2. 정삼각형의 세 변의 중점을 이으면 원래의 정삼각형 안에 작은 정삼각 형이 만들어진다. 이 작은 정삼각형을제거한다(색을 지운다).
3. 남은 정삼각형들에 대해서도 2.를 실행한다.
4. 3.을 무한히 반복하면 색칠한 삼각형들이 시어핀스키 삼각형을 이루게 된다.
※시어핀스키 삼각형의 성질
①시어핀스키 삼각형 3개를 이용하여 원래의 2배의 크기인 시어핀스키 삼각형을 만들 수 있으므로, 이 도형의 하우스도르프 차원은 log2/log3 ≈ 1.585 으로, 직선의 차원보다 크고 평면의 차원보다 작다.
②시어핀스키 삼각형의 색칠한 삼각형의 변의 길이의 합은 무한대이다. 처음 정삼각형의(step 1) 둘레의 길이를 l이라 할 때, 두 번째 시어핀스키 삼각형의 색칠한 삼각형의(step 2) 둘레는 <step1>의 1.5배가 된다. 이를 무한대 반복하면 색칠한 삼각형의 둘레는 3a×(3/2)^n 가 된다.
③ 시어핀스키 삼각형의 넓이는 0이다. 처음 정삼각형(step1)의 넓이를 S라 할 때, step2에서는 (3/4)xS가 된다. 따라서 이를 무한대 반복하면 넓이는 0이 된다.